华科计算方法习题一解答

习题解答

1.1 试证明:

$||\mathbf{x}||_{\infty} = \mathop{max}\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} |x_i|, $ $\quad \mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)^T \in \mathbf{R}^{n};$
$\displaystyle ||\mathbf{A}||_{\infty} = \mathop{max}_{1 \leqslant i \leqslant n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}|,$ $\quad \mathbf{A} = (a_{ij}) \in \mathbf{R}^{n \times n}.$

证明:

令 $|x_r| = \mathop{max}\limits_{1 \leqslant i \leqslant n}|x_i|$ , 则有:

\[|x_r| \leqslant (\sum_{i = 1}^{n} |x_i|^{p})^{\frac{1}{p}} \leqslant (n|x_r|^p)^{\frac{1}{p}} = n^{\frac{1}{p}} \cdot |x_r|, \]

令 $p \to \infty$ , 由夹逼定理得:

\[||\mathbf{x}||_{\infty} = \lim_{p \to \infty} (\sum_{i = 1}^{n}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}} = |x_r|.\]

令 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)^T \neq 0$ , 不妨设 $\mathbf{A} \neq \mathbf{0}$ ,

令 $\displaystyle \mu = \mathop{max}_{1 \leqslant i \leqslant n} \sum_{j = 1}^{n} |a_{ij}|$ , 则有

\[||\mathbf{Ax}||_{\infty} = \mathop{max}_{1 \leqslant i \leqslant n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij} x_{j}| \leqslant \mathop{max}_{1 \leqslant i \leqslant n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| \cdot \mathop{max}_{1 \leqslant i \leqslant n}|x_i| = \mu||\mathbf{x}||_{\infty},\]

即对任意非零 $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^n$ , 有

\[\frac{||\mathbf{Ax}||_{\infty}}{||\mathbf{x}||_{\infty}} \leqslant \mu\]

下面证明存在向量 $\mathbf{x_0} \neq \mathbf{0}$ , 使得 $\displaystyle \frac{||\mathbf{Ax_0}||_{\infty}}{||\mathbf{x_0}||_{\infty}} = \mu$ .

设 $\displaystyle \mu = \sum_{j = 1}^{n}|a_{i_0j}| = \mathop{max}_i\sum_{j = 1}^{n}\left|a_{ij}x_j\right|$ , 取向量 $\mathbf{x_0} = (x_1, x_2, ..., x_n)^T$ , 其中 $x_j = sign(a_{i_0j}) \: (j = 1, 2, ..., n)$ . 显然, $||\mathbf{x_0}||_{\infty} = 1$ , 且 $\mathbf{Ax_0}$ 任意分量为 $\displaystyle \sum_{i = 1}^{n}|a_{i_0j}x_j| = \sum_{i = 1}^{n}|a_{i_0j}|$ ,

故有 $||\displaystyle \mathbf{Ax_0}||_{\infty} = \mathop{max}_i\sum_{j = 1}^{n}\left|a_{ij}x_j\right| = \sum_{j = 1}^{n}\left| a_{i_0j} \right| = \mu$ .

注: $sign(x)$ 或者 $Sign(x)$ 叫做符号函数, 在数学和计算机运算中, 其功能是取某个数的符号(正或负),

当 $x > 0, sign(x) = 1$ ;

当 $x = 0, sign(x) = 0$ ;

当 $x < 0, sign(x) = -1$ .

1.3 设矩阵 $\mathbf{A, B} \in \mathbf{R}^{n \times n}$ , 其中 $\mathbf{A}$ 可逆, 且存在矩阵范数 $||\cdot||$ 使得

\[||\mathbf{A}^{-1}|| \leqslant \alpha, \quad ||\mathbf{A} - \mathbf{B} \leqslant \beta||, \quad \alpha \beta < 1.\]

试证明矩阵 $\mathbf{B}$ 也可逆, 且其逆矩阵满足估计

\[||\mathbf{B}^{-1}|| \leqslant \frac{\alpha}{1 - \alpha \beta}.\]

证明:

由已知条件有:

\[||\mathbf{I} - \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}|| = ||\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{A} - \mathbf{B]})|| \leqslant \alpha \beta < 1.\]

又 $\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B} = \mathbf{I} - (\mathbf{I} - \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B})$ . 因此, 根据定理 1.8 $\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}$ 可逆, 从而 $\mathbf{B}$ 也可逆, 且有

\[||\mathbf{B}^{-1}|| = ||[\mathbf{I} - (\mathbf{I} - \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B})]^{-1} \mathbf{A}^{-1}|| \leqslant ||[\mathbf{I} - (\mathbf{I} - \mathbf{A}^{-1} \mathbf{B})]^{-1}|| \: ||\mathbf{A}^{-1}|| \leqslant \frac{\alpha}{1 - \alpha \beta}.\]

注: 这里的定理 1.8 如下