傅里叶级数推导过程中的一个问题

在看傅里叶级数推导的过程中，有一个地方一开始没有看明白，之后通过查找资料以及再次思考，终于把其中的关节给弄懂，在这里记录一下，防止以后再次遇到的时候会遗忘掉。

首先，\(a_0\) 很容易得到，直接对第一个式子两边同时积分即可。因为 \(\text{sin}\,nx\) 和 \(\text{cos}\,nx\) 在 \([-\pi, \pi]\) 上的积分都为 0。

然后，两边同时乘以 \(\text{cos}\,mx\)，最后得到结果

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \text{cos} \, nxdx \]

我的问题就出在了这里，明明说自身乘积的积分是 \(\pi\)，但是这里明显把 \(a_n \text{cos} \, nx \cdot \text{cos} \, nx\)

然后，问题的解释是：

应该理解成 \(m\) 而不是单单的 \(n\)，即，应该是

\[ a_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \text{cos} \, mxdx \]

左边的相加的项中，只要不是 \(n\) 的，也都要被归 \(0\) 的。

我们选定一个 \(m\)，\(m\) 是 \(1\) 到 \(\infty\) 中的任意一个值，然后，用 \(\text{cos} \, mx\) 同时去乘等号两边的式子，那么，\(\displaystyle \frac{a_0}{2} \cdot \text{cos} \, mx\) 积分之后是 \(0\)，\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \, \text{cos} \, nx \cdot \text{cos} \, mx\) 的所有项中，除了 \(\text{cos} \, mx\) 这一项外，其他的项在积分之后全部都变成了 \(0\)，对于 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \, \text{sin} \, nx \cdot \text{cos} \, mx\)，积分以后显然全部变成 \(0\)。

这里用到了一个关系，

这个证明暂时从略。

然后，\(a_n\) 自然就可以求出来了，发现，和 PPT 中给的是相符的。

对于 \(b_n\) 的求解，同理。