函数的连续与间断

定义 1

设 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域内有定义. 若

\[ \lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0) \qquad \qquad (1) \]

则说 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续, 并称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的一个连续点. 若 \(f(x)\) 在某个 \(\mathop{N}\limits^{\circ}(x_0)\) 上有定义, 则当 \(x_0\) 不是 \(f(x)\) 的连续点时,称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的间断点, 或说 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 间断. 若 \(f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 内每点连续, 则说 \(f(x)\) 在 \((a, b)\) 内连续.

按:

\[ \mathop{N}\limits^{\circ}(a, r) = (a - r, a) \cup (a, a + r): 点 a 的半径为 r 的空心邻域. \]

再按：\(N\) 是 Near 的意思？

若令 \(\Delta x = x - x_0\), \(\Delta y = f(x) - f(x_0)\), 则式 (1) 等价于

\[ \Delta y \rightarrow 0(\Delta x \rightarrow 0). \]

将式 (1) 与极限定义(\(\S2.2(5)\))结合起来, 得到"\(f(x)\) 在 \(x_0\) 连续"的"\(\varepsilon \text{-} \delta\)刻画"如下:

\[ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in N(x_0, \delta): |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon. \]

按:

1. 对于 \(\S 2.2(5)\):

设 \(l\) 是一常数. 设 \(f(x)\) 在 \(a\) 的某个去心邻域上有定义. 若

\[ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in N(a, \delta): |f(x) - l| < \varepsilon, \]

则说当 \(x\) 趋于 \(a\) 时 \(f(x)\) 收敛于(或趋于) \(l\), 称 \(l\) 为当 \(x \rightarrow a\) 时 \(f(x)\) 的极限, 记作

\[ \lim_{x \rightarrow a} f(x) = l \quad \text{or} \quad f(x) \rightarrow l(x \rightarrow a). \]

2. 对于 \(N(a, r)\) 的含义:

\[ N(a, r) = (a - r, a + r): 点 a 的半径为 r 的邻域. \]

一些例子:

定义 2

单侧连续. 略.

定义 3

若极限 \(l = \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)\) 存在, 但 \(f(x_0) \neq l\) 或 \(f(x_0)\) 无定义, 则称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的可去间断点(重新定义 \(f(x_0) = l\) 后即消去间断).

若 \(f(x_0^-)\) 与 \(f(x_0^+)\) 皆存在但不相等, 则称 \(x_0\) 为 \(f(x)\) 的跳跃间断点, 称 \(f(x_0^+) - f(x_0^-)\) 为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的跃度.

以上两种间断点合称为第一类间断点.

称非第一类的间断点为第二类间断点.

举例: \(f(x) = 1 / x\) 以 \(x = 0\) 为第二类间断点.

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参考:

1、华科微积分教材。