函数的连续与间断

定义 1

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义. 若

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)(1)$$

则说 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续, 并称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个连续点. 若 $f(x)$ 在某个 $\stackrel{\circ }{N}(x_0)$ 上有定义, 则当 $x_0$ 不是 $f(x)$ 的连续点时,称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点, 或说 $f(x)$ 在 $x_0$ 间断. 若 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内每点连续, 则说 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续.

按:

$$\stackrel{\circ }{N}(a,r)=(a-r,a)\cup (a,a+r):\mathrm{点}a\mathrm{的}\mathrm{半}\mathrm{径}\mathrm{为}r\mathrm{的}\mathrm{空}\mathrm{心}\mathrm{邻}\mathrm{域}.$$

再按：$N$ 是 Near 的意思？

若令 $\mathrm{\Delta }x=x-x_0$, $\mathrm{\Delta }y=f(x)-f(x_0)$, 则式 (1) 等价于

$$\mathrm{\Delta }y\to 0(\mathrm{\Delta }x\to 0).$$

将式 (1) 与极限定义($\mathrm{\S }2.2(5)$)结合起来, 得到"$f(x)$ 在 $x_0$ 连续"的"$\epsilon \text{-}\delta$刻画"如下:

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }x\in N(x_0,\delta ):|f(x)-f(x_0)|<\epsilon .$$

按:

1. 对于 $\mathrm{\S }2.2(5)$:

设 $l$ 是一常数. 设 $f(x)$ 在 $a$ 的某个去心邻域上有定义. 若

$$

则说当 $$ 趋于 $$ 时 $$ 收敛于(或趋于) $$, 称 $$ 为当 $$ 时 $$ 的极限, 记作

$$

2. 对于 $$ 的含义:

$$

一些例子:

定义 2

单侧连续. 略.

定义 3

若极限 $$ 存在, 但 $$ 或 $$ 无定义, 则称 $$ 为 $$ 的可去间断点(重新定义 $$ 后即消去间断).

若 $$ 与 $$ 皆存在但不相等, 则称 $$ 为 $$ 的跳跃间断点, 称 $$ 为 $$ 在 $$ 处的跃度.

以上两种间断点合称为第一类间断点.

称非第一类的间断点为第二类间断点.

举例: $$ 以 $$ 为第二类间断点.

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参考:

1、华科微积分教材。